Так на любом компьютере или на локальном компьютере? Разница существенная. На локальном компьютере можно просто прописать в hosts соответствие любого имени любому IP, настройки Azure не важны. Чтобы это работало на любом компьютере, конечно, нужно купить доменное имя - иначе как по вашему это будет работать? myfirstsite.ru уже занято каким-то сервисом для создания сайтов, как минимум, вам нужно подобрать уникальное имя

Вам уже сказали: нужно зарегистрировать домен и прописать IP-адрес сайта в панели управления регистратора. Настройки Azure тут в любом случае где-то сбоку. Если вас интересует конкретный тип записи DNS, это A для IPv4 или AAAA для IPv6.

То, что вы спрашиваете, не имеет смысла. "Прописать зоны DNS" - это и есть "прописать IP-адрес сайта", только на низком уровне. Обычно панель управления регистратора не даст вам напрямую редактировать конфигурацию зоны, а даст какое-то ее высокоуровневое представление, в котором вам дается возможность добавить записи через веб-интерфейс. Как это будет выглядеть, зависит от регистратора. Редактировать зоны напрямую вы будете, если поднимете свой DNS сервер.

Тогда почитайте теорию по DNS, хотя бы https://ru.wikipedia.org/wiki/DNS, а лучше какую-нибудь книгу по компьютерным сетям. Если вам не понятен алгоритм из двух пунктов 1. Зарегистрировать домен 2. Прописать А-запись с IP-адресом сайта, то я не знаю, как еще объяснить.

Значит, для сайта создана привязка с личным IP. Нужно создать привязку с общедоступным IP, или просто без указания IP, например *:8085 - тогда сайт будет доступен по этому порту с любого IP-адреса. 

https://manage.accuwebhosting.com/knowledgebase/2886/How-to-configure-IIS-to-access-website-using-IP-address.html