окна Multiline - это TextBox имеется в виду? да вообщем-то решение аналогично. только непонятно зачем.

public void Page_Load(Object sender, EventArgs e)
{
    // Define the name and type of the client scripts on the page.
    String csname1 = "MyScript";    
    Type cstype = this.GetType();

    // Get a ClientScriptManager reference from the Page class.
    ClientScriptManager cs = Page.ClientScript;
    
    string MyScript=@"
window.current_scroll_pos = undefined;
function ScrollHandler(e){
e = e || window.event;
var targ = e.target || e.srcElement;
if(window.current_scroll_pos == undefined)
 window.current_scroll_pos=targ.scrollTop;
else
 targ.scrollTop=window.current_scroll_pos;};	
var inp = document.getElementById('" +
textBox1.ClientID + @"');window.current_scroll_pos=inp.scrollTop;
inp.onscroll = ScrollHandler;";

    cs.RegisterStartupScript(cstype, csname1, MyScript, true);
        
}